Belajar Trigonometri SMK: Rumus, Contoh Soal & Latihan

Sumber Belajar Siswa SMK: Trigonometri

Pendahuluan:

Trigonometri merupakan cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi pada segitiga, khususnya segitiga siku-siku. Konsep trigonometri sangat penting dalam berbagai bidang, termasuk teknik sipil, arsitektur, navigasi, fisika, dan ilmu komputer. Materi ini akan membahas definisi dasar trigonometri, identitas trigonometri, dan penerapannya dalam pemecahan masalah.

I. Definisi Dasar Trigonometri:

Pada segitiga siku-siku, perbandingan antara sisi-sisi terhadap sudut lancip dapat didefinisikan sebagai berikut:

• Sinus (sin): sin θ = sisi depan / sisi miring
• Kosinus (cos): cos θ = sisi samping / sisi miring
• Tangen (tan): tan θ = sisi depan / sisi samping

dimana:

• θ (theta) adalah sudut lancip pada segitiga siku-siku.
• Sisi depan adalah sisi di hadapan sudut θ.
• Sisi samping adalah sisi yang berdekatan dengan sudut θ (bukan sisi miring).
• Sisi miring adalah sisi terpanjang pada segitiga siku-siku (sisi di hadapan sudut siku-siku).

II. Identitas Trigonometri:

Beberapa identitas trigonometri yang penting:

• Identitas Pythagoras: sin²θ + cos²θ = 1
• Identitas Quotient: tan θ = sin θ / cos θ
• Identitas Reciprocal:
  • csc θ = 1 / sin θ (Kosekan)
  • sec θ = 1 / cos θ (Sekan)
  • cot θ = 1 / tan θ (Kotangen)

III. Penerapan Trigonometri:

Trigonometri digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan sudut dan panjang sisi pada segitiga. Ini termasuk menentukan tinggi suatu bangunan, jarak antar titik, dan sudut elevasi/depresi.

Contoh Soal dan Penyelesaian:

Contoh 1:

Sebuah tangga sepanjang 5 meter disandarkan pada dinding. Tangga membentuk sudut 60° dengan tanah. Berapa tinggi dinding yang dicapai tangga tersebut?

Penyelesaian:

Kita dapat menggunakan fungsi sinus untuk menyelesaikan masalah ini. Misalkan tinggi dinding yang dicapai tangga adalah h meter. Maka:

sin 60° = h / 5 meter

h = 5 meter * sin 60°

h = 5 meter * (√3 / 2)

h ≈ 4.33 meter

Jadi, tinggi dinding yang dicapai tangga adalah sekitar 4.33 meter.

Contoh 2:

Dari sebuah titik pengamatan, sudut elevasi puncak menara adalah 30°. Jika jarak titik pengamatan ke kaki menara adalah 100 meter, berapa tinggi menara tersebut?

Penyelesaian:

Kita gunakan fungsi tangen:

tan 30° = tinggi menara / 100 meter

tinggi menara = 100 meter * tan 30°

tinggi menara = 100 meter * (1 / √3)

tinggi menara ≈ 57.74 meter

Jadi, tinggi menara tersebut sekitar 57.74 meter.

Contoh 3 (Identitas Trigonometri):

Jika sin θ = 3/5, tentukan nilai cos θ dan tan θ.

Penyelesaian:

Menggunakan identitas Pythagoras:

sin²θ + cos²θ = 1

(3/5)² + cos²θ = 1

cos²θ = 1 - (9/25) = 16/25

cos θ = ±4/5 (karena cos θ bisa positif atau negatif tergantung kuadran θ)

Kemudian, menggunakan identitas Quotient:

tan θ = sin θ / cos θ = (3/5) / (±4/5) = ±3/4

Latihan Soal:

1. Sebuah kapal berlayar sejauh 15 km ke arah timur, kemudian berbelok ke arah utara sejauh 20 km. Berapa jarak kapal dari titik awal? Berapa besar sudut yang dibentuk oleh jalur kapal terhadap arah timur?

2. Sebuah pesawat terbang pada ketinggian 1000 meter. Sudut depresi pilot terhadap titik di tanah adalah 35°. Berapa jarak horizontal antara pesawat dan titik tersebut?

3. Buktikan identitas trigonometri: 1 + tan²θ = sec²θ

Kesimpulan:

Trigonometri merupakan alat yang sangat penting dalam memecahkan berbagai masalah dalam berbagai bidang. Dengan memahami definisi dasar, identitas, dan penerapannya, siswa SMK dapat mengembangkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah yang lebih baik. Semoga sumber belajar ini membantu!